Vektor

Vektor

Sebagai contoh yang mudah untuk dipahami dari sebuah vektor adalah vektor posisi. Untuk menentukan posisi sebuah titik relatif terhadap titik yang lain, kita harus memiliki sistem koordinat. Dalam ruang berdimensi tiga, dibutuhkan sistem koordinat, x, y, z untuk mendiskripsikan posisi suatu titik relatif terhadap suatu titik asal (O). Vektor posisi suatu titik P, relatif terhadap titik asal digambarkan di bawah ini.

Penjumlahan Vektor

Dari konsep vektor posisi juga dikembangkan konsep penjumlahan vektor.

Vektor posisi titik A adalah ~A, sedangkan posisi titik B ditinjau dari titik A

adalah B. Vektor posisi titik B adalah vektor ~C, dan ~C dapat dinyatakan

sebagai jumlahan vektor ~A dan vektor ~B , ~A + ~B = ~C .

Negatif dari suatu vektor ~A dituliskan sebagai −~A dan didefinisikan sebagai

sebuah vektor dengan besar yang sama dengan besar vektor ~A tetapi

dengan arah yang berlawanan, sehingga ~A + (−1)~A = 0. Dari sini konsep

pengurangan vektor muncul, jadi

~A

− ~B = ~A + (−1)~B.

Aljabar vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Jadi ~A + ~B = ~B + ~A, dan

~A

+ (~B + ~C ) = (~A + ~B) + ~C

Dalam ruang berdimensi tiga terdapat paling banyak tiga vektor yang

dapat saling tegak lurus. Vektor-vektor yang saling tegak lurus ini dapat

dijadikan vektor-vektor basis. Dalam sistem koordinat kartesan, sebagai

vektor-vektor basis biasanya diambil vektor-vektor yang mengarah ke arah

sumbu x, y, dan z positif, dan diberi simbol ˆx, ˆy, dan ˆz. Vektor-vektor basis

ini juga dipilih bernilai satu. Sehingga sebarang vektor ~A dalam ruang

dimensi tiga dapat dinyatakan sebagai jumlahan vektor-vektor basis dengan

koefisien-koefisien Ax,Ay,Az yang disebut sebagai komponen vektor dalam

arah basis x, y dan z.

Ặ= Axˆx + Ay ˆy + Az ˆz

Dari trigonometri dapat diketahui bahwa bila sudut antara vektor ~A

dengan sumbu x, y, dan z adalah _x, _y, dan _z, maka

Ax = Acos θx,

Ay = Acosθy, dan Az = Acos θz, dengan A adalah besar Ặ. Dari teorema Phytagoras, diperoleh bahwa A² = A²_x + A²_y + A²_z

Perkalian

Dua buah vektor dapat ‘diperkalikan’. Konsep perkalian antar vektor sangat

bermanfaat dalam perumusan berbagai persamaan-persamaan fisika. Konsep

perkalian dalam vektor sangat berbeda dengan sekedar memperkalian dua

buah bilangan (skalar), dan memiliki definisi tersendiri. Dua buah vektor

dapat diperkalikan menghasilkan sebuah skalar ataupun sebuah vektor baru.

Perkalian yang menghasilkan skalar disebut sebagai perkalian skalar atau

perkalian titik (dot product), dan didefinisikan sebagai

~A· ~B = AB cos θ

dengan _ adalah sudut antara vektor ~A dan ~B . Besar vektor ~C = ~A + ~B